Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁、F₂分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓的一個頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，且||=2．
（1）求橢圓方程；
（2）對于x軸上的某一點(diǎn)T，過T作不與坐標(biāo)軸平行的直線L交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若存在x軸上的點(diǎn)S，使得對符合條件的L恒有∠PST=∠QST成立，我們稱S為T的一個配對點(diǎn)，當(dāng)T為左焦點(diǎn)時，求T 的配對點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下討論當(dāng)T在何處時，存在有配對點(diǎn)？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的頂點(diǎn)為P，由||=2=2c可得c=1，由PF₁=PF₂=2結(jié)合橢圓的定義可得2a，結(jié)合b²=a²-c^2可求橢圓的方程
（2）可設(shè)過T的直線方程為y=k（x+1），（k≠0），聯(lián)立橢圓方程整理可得（3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S （a，0），由∠PST=∠QST 可得k_PS=-K_QS即，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求a
（3）設(shè)T（x，0），直線PQ的方程y=k（x-x），S （a，0），使得對符合條件的L恒有∠PST=∠QST成立，則T必須在P，Q 之間即-2＜x＜2
同（2）的整理方法，聯(lián)立直線與橢圓方程由∠PST=∠QST可得，2x₁x₂-（a+x）（x₁+x₂）+2ax=0，同（2）的方法一樣代入可求
解答：解：（1）設(shè)橢圓的頂點(diǎn)為P，由||=2=2c可得c=1
PF₁=PF₂=2可得2a=4
∴a=2，b²=a²-c²=3
橢圓的方程為：
（2）∵T（-1，0），
則過可設(shè)過T的直線方程為y=k（x+1），（k≠0），
聯(lián)立橢圓方程整理可得（3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S （a，0），則，
∵∠PST=∠QST∴k_PS=-K_QS
∴
∴
整理可得2x₁x₂+（1-a）（x₁+x₂）-2a=0
即
∴a=-4
（3）設(shè)T（x，0），直線PQ的方程y=k（x-x），S （a，0）
使得對符合條件的L恒有∠PST=∠QST成立，則T必須在P，Q 之間即-2＜x＜2
同（2）的整理方法，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，，
由∠PST=∠QST可得，2x₁x₂-（a+x）（x₁+x₂）+2ax=0
同（2）的方法一樣代入可求a=
點(diǎn)評：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，及直線與橢圓的相交關(guān)系的 應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是具備一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力．