Question

（2010•淄博一模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求數(shù)列數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，求證

1

5

≤Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）由S_n=na_n-2n（n-1）結(jié)合通項和前n項和的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為a_n+1-a_n=4（n≥2）再由等差數(shù)列的定義求解，要注意分類討論．
（II）利用裂項求和法求出Tn=

1

a1a2

+…+

1

anan+1

=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

，又易知T_n單調(diào)遞增，
則Tn≥T1=

1

5

，從而證得結(jié)論．

解答：解：（I）由S_n=na_n-2n（n-1）
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n
即a_n+1-a_n=4…（4分）∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列∴a_n=4n-3．…（6分）
（II）Tn=

1

a1a2

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)×(4n+1)

=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

…（10分）
又易知T_n單調(diào)遞增，
故Tn≥T1=

1

5

，
得

1

5

≤Tn＜

1

4

．…（12分）

點評：本題主要考查數(shù)列的轉(zhuǎn)化與通項公式和求和方法，這里涉及了通項與前n項和之間的關(guān)系及裂項求和法，這是數(shù)列考查中常考常新的問題，要熟練掌握．