Question

【題目】已知函數(shù)，其中且.

（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，試證明：對(duì)任意的，恒有；

（2）若對(duì)于，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是3，試求實(shí)數(shù)的值；

（3）設(shè)且，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有？如果存在，請(qǐng)求出的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在,

【解析】

（1）由函數(shù)是奇函數(shù)，可得，代入計(jì)算即可證明；
（2），，對(duì)分類討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則等價(jià)于對(duì)任意的，的最小值大于的最大值．令，，可得其最大值．于是問題等價(jià)于，的最小值大于1，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

（1）證明：因?yàn)?/span>是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，

所以對(duì)任意的，恒有

由，得

對(duì)任意的，恒有

（2）

當(dāng)時(shí)，

在區(qū)間是增函數(shù)，

所以.

當(dāng)時(shí)

在區(qū)間是減函數(shù)，無(wú)解

綜上所述：

（3）所以

又因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)閷?duì)任意的，都有

所以的最小值大于的最大值

遞減，所以的最小值為

令，因?yàn)?/span>，所以遞增，

所以的最大值為

所以，解得.

綜上所述：滿足題設(shè)的實(shí)數(shù)的取值范圍是