Question

若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，而F(x)=

f(x)

x

在I上是減函數(shù)，則稱函數(shù)y=f（x）在I上是“慢增函數(shù)”．若函數(shù)h（x）=x²+(sinθ-

1

2

)x+b（θ，b是常數(shù)）在（0，1]上是“慢增函數(shù)”，下面的θ和正數(shù)b能滿足的條件的是（　�。�

• A、b=-1，θ∈[2kπ+

  π

  6

  ，2kπ+

  5π

  6

  ]    k∈Z
• B、b=1，θ∈[2kπ-

  π

  3

  ，2kπ+

  5π

  3

  ]  k∈Z
• C、b=2，θ∈[2kπ+

  π

  3

  ，2kπ+

  5π

  6

  ]    k∈Z
• D、b≥1，θ∈[2kπ+

  π

  6

  ，2kπ+

  5π

  6

  ]，k∈Z

Answer 1

分析：由于h（x）在（0，1]上是“慢增函數(shù)”，所以h（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，

h(x)

x

在（0，1]上單調(diào)遞減，由此可求出θ及正數(shù)b滿足的條件．

解答：解：因為h（x）=x²+（sinθ-

1

2

）x+b（θ、b是常數(shù)）在（0，1]上是“慢增函數(shù)”
所以h（x）=x²+（sinθ-

1

2

）x+b在（0，1]上是增函數(shù)，
且F（x）=

h(x)

x

=x+

b

x

+（sinθ-

1

2

）在（0，1]上是減函數(shù)，
由h（x）=x²+（sinθ-

1

2

）x+b在（0，1]上是增函數(shù)，得h′（x）≥0
即2x+（sinθ-

1

2

）≥0在（0，1]上恒成立，
所以

-(sinθ- 1 2 )

2

≤0，
即sinθ≥

1

2

，
解得θ∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈Z．
由F（x）=

h(x)

x

在（0，1]上是減函數(shù)，得F′（x）≤0在（0，1]上恒成立，
即1-

b

x2

≤0，b≥x²在（0，1]上恒成立，
所以b≥1．
綜上所述，b≥1且θ∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈Z時，h（x）在（0，1]上是“慢增函數(shù)”．
故選D

點評：本題以新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運用所學(xué)知識分析解決新問題的能力．