Question

(本小題滿分12分)設(shè)橢圓C：過點(diǎn)M(, )，且離心率為，直線l過點(diǎn)P(3, 0)，且與橢圓C交于不同的A、B兩點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程；

（2）求·的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）·∈.

【解析】

試題分析：（1）由已知可得：

（2）討論：當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為：x＝3與橢圓無交點(diǎn)；

故直線l的斜率存在，設(shè)其方程為：y＝k(x－3), A(x1, y1), B(x2, y2)，

聯(lián)立得(3k2＋2)x2－18k2x＋27k2－12＝0，

由△＝(18k2)2－4(3k2＋2)(27k2－12)＞0 k2＜,應(yīng)用韋達(dá)定理得到，

x1＋x2＝，x1x2＝,計算·＝2＋

根據(jù)0≤k2≤逐步求得·∈.

試題解析：（1）由已知可得：，

∴橢圓C的方程為： 4分

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為：x＝3與橢圓無交點(diǎn)。

故直線l的斜率存在，設(shè)其方程為：y＝k(x－3), A(x1, y1), B(x2, y2)，

由得(3k2＋2)x2－18k2x＋27k2－12＝0，

∵△＝(18k2)2－4(3k2＋2)(27k2－12)＞0 k2＜,

x1＋x2＝，x1x2＝, 6分

∵＝(x1－3, y­1), ＝(x2－3, y2)

∴·＝(x1―3)(x2―3)＋y1y2＝(x1―3)(x2―3)＋k2(x1―3)(x2―3)

＝(k2＋1)[x1x2－3(x1＋x­2)＋9]

＝(k2＋1)( －＋9)＝

＝2＋ 10分

∵0≤k2≤， ∴＜≤， ∴＜2＋≤3，

∴·∈ 12分

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.平面向量的數(shù)量積.