Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₇，a₅，a₃，a₆；        
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知條件a_n+3=a_n+3，求出a₄=4，a₇=7，再利用條件a_n+2≥a_n+2得到a₇，a₅，a₃，a₆值．
（2）利用已知條件a_n+2≥a_n+2得到數(shù)列的遞推關(guān)系，利用等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式求出
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（3）先求出通項(xiàng)=，再將其放縮，然后利用裂項(xiàng)相消的方法證出不等式．
解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+3=a_n+3，
∴a₄=4，a₇=7
∵a_n+2≥a_n+2
∴a₃≥3，a₅≥a₃+2，a₇≥a₅+2，
∴a₅=5，a₃=3，a₆=a₃+3=6
（2）∵a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）
∴a_n+3≤a_n+2+1（n∈N^*）
∴a_n+1≤a_n+1，a_n+2≤a_n+1+1
∴a_n+1+a_n+2+a_n+3≤a_n+a_n+1+a_n+2+3，即a_n+3≤a_n+3
∴a_n+1=a_n+1，a_n+2=a_n+1+1，a_n+3=a_n+2+1
∴{a_n}為等差數(shù)列，公差d=1．
∴a_n=n
（3）證明：n=1時(shí)，=1＜2成立n＞1時(shí)，
∵=（n＞1）
∴
＜=＜2
∴
點(diǎn)評(píng)：證明與數(shù)列的和有關(guān)的不等式時(shí)，一般能求和的先求出和，若不能求和，常通過放縮法轉(zhuǎn)化為能求和的數(shù)列和的不等式再證明．