【題目】橢圓與的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)分別在軸與軸上，它們有相同的離心率，并且的短軸為的長軸，與的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積是.

(1)求橢圓與的方程；

(2)設(shè)是橢圓上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，與橢圓長軸兩個(gè)頂點(diǎn)，的連線，分別與橢圓交于，點(diǎn).

(i)求證：直線，斜率之積為常數(shù)；

(ii)直線與直線的斜率之積是否為常數(shù)？若是，求出該值；若不是，說明理由.

【答案】(1)，.(2)(i) 見解析(ii).

【解析】

試題（1）橢圓離心率，又，所以，設(shè)，則根據(jù)題中條件可設(shè)，于是根據(jù)橢圓的對稱性可知，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，面積，解得，可以得到橢圓，；（2）(i)本問考查圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，分析題意，設(shè)，而，，所以，，于是，又因?yàn)?/span>，代入上式易求；(ii)根據(jù)(i)問，可先證明為定值，再證明為定值，于是可以得到為定值，由于，，所以可以得為定值.

試題解析：(1)依題意，設(shè)，，由對稱性，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，且面積，解得：.

所以橢圓，.

(2)(i)設(shè)，則，，.

，.

所以：.

直線，斜率之積為常數(shù).

(ii)設(shè)，則.

，，

所以：，同理：，

所以：，由，，結(jié)合(i)有

.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)的交點(diǎn)為A，B，求的面積．

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（1）討論的單調(diào)性；

（2）若曲線的一條切線方程為，

（i）求的值；

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（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）為上一點(diǎn)（軸上方），直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

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A. 4B. C. D.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，又直線上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：

①點(diǎn)的極角；

②面積的取值范圍.

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（1）證明：面面;

（2）求二面角的余弦值.

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（1）試在平面內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行，并給出詳細(xì)證明；

（2）求二面角的余弦值．

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（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線（不與軸重合）交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)，求證：為定值.

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