如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．

(Ⅰ)若D為AA1中點，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；

(Ⅱ)若二面角B1－DC－C1的大小為60°，求AD的長．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1，

　　又由直三棱柱性質(zhì)知B1C1⊥CC1，

　　∴B1C1⊥平面ACC1A1．

　　∴B1C1⊥CD�、佟�3分

　　由D為中點可知，DC＝DC1＝

　　∴DC2＋DC＝CC即CD⊥DC1　②　5分

　　由①②可知CD⊥平面B1C1D又CD　6分

　　(Ⅱ)由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1，如圖，在面ACC1A1內(nèi)過C1作C1E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB1，

　　由三垂線定理可知∠B1EC1為二面角B1－DC－C1的平面角，8分

　　∴∠B1EC1＝60°．

　　由B1C1＝2知，　10分

　　設(shè)AD＝x，則

　　解得x＝　12分

　　解法二：(Ⅰ)如圖，以C為原點，CA、CB、CC1所在直線為x，y，z軸和建立空間直角坐標系．則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，1)即

　　

　　由

　　得CD⊥C1B；

　　由

　　得CD⊥DC1；又DC1∩C1B＝C1，

　　∴CD⊥平面B1C1D．又CD平面B1CD，

　　∴平面B1CD⊥平面B1C1D　6分

　　(Ⅱ)設(shè)AD＝a，則D點坐標為(1，0，a)，設(shè)平面B1CD的法向量為

　　則由

　　得，又平面

　　則由

　　故AD＝　12分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

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    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省高考真題 題型：解答題

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面B1DP的距離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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