Question

設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f（x）=sin²x-2acosx-1
（1）求函數(shù)f（x）的最大值g（a）；
（2）試確定滿(mǎn)足g（a）=

1

2

的a，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的一元二次函數(shù)，再根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)與cosx的范圍確定函數(shù)f（x）的最大值g（a）．
（2）根據(jù)（1）中的g（a）的解析式確定f（a）=

1

2

的a的范圍，進(jìn)而求出a的值，最后將a的值代入到函數(shù)f（x）中即可根據(jù)cosx的范圍和一元二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值．

解答：解：（1）f（x）=sin²x-2acosx-1=-cos²x-2acosx=-（cosx+a）²+a²，
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，g（a）=a²；
當(dāng)-a＜-1即a＞1時(shí)，g（a）=-（-1+a）²+a²=2a-1；
當(dāng)-a＞1即a＜-1時(shí)，g（a）=-（1+a）²+a²=-2a-1
故 g（a）=

-2a-1    a∈(-∞，-1) a2         a∈[-1，1] 2a-1      a∈(1，+∞)

（2）∵g（a）=

1

2

，
∴當(dāng)a＜-1時(shí)，g（a）=-2a-1=

1

2

，得a=-

3

4

（舍去），
當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）=2a-1=

1

2

，解得a=

3

4

（舍去），
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，g（a）=a²=

1

2

，
解得a=

2

2

或-

2

2

，
故a=±

2

2

，
此時(shí)f（x）=-（cosx+

2

2

）²+

1

2

或f（x）=-（cosx-

2

2

）²+

1

2

當(dāng)cosx=

2

2

或cosx=-

2

2

時(shí)f（x）有最大值

1

2

，
綜上所述，a=±

2

2

時(shí)，f（x）最大值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和一元二次函數(shù)的基本性質(zhì)．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用和靈活運(yùn)用．