Question

（本題滿分12分）
已知函數(shù)，其中為實數(shù)．
(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程；
(Ⅱ)是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立?若不存在，請說明理由，若存在，求出的值并加以證明．

Answer 1

(Ⅰ)
(Ⅱ)存在實數(shù)，使得對任意，恒成立

本試題主要是考查了導數(shù)的幾何意義的運用，以及運用導數(shù)求解函數(shù)的 最值綜合運用。
（1）由已知關(guān)系式得到函數(shù)的定義域，然后把a=2代入原式中，求解函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)在某點處的導數(shù)值即為該點的切線的斜率來求解得到切線方程。
（2）由于要是不等式恒成立，需要對原式進行變形，將分式轉(zhuǎn)化為整式，然后構(gòu)造函數(shù)求解最值得到參數(shù)的范圍。
解：（Ⅰ）時，，
，，
又
所以切線方程為             ………6分
（Ⅱ）1°當時，，則
令，，
再令，
當時，∴在上遞減，
∴當時，，
∴，所以在上遞增，，
所以
2°時，，則
由1°知當時，在上遞增
當時，，
所以在上遞增，∴
∴；
由1°及2°得：                       ………12分