Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足（g是常數(shù)，且（q＞0，q≠1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當時，試證明；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），使對n∈N^*？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I ）由a_n=S_n-S_n-1=（a_n-1-1）知 ，由S₁=a₁=（a₁-1）得a₁=q，由此知a_n=q•q^n-1=qⁿ．
（II）由于，故可證明；
（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=所以 由此能求出m的值．
解答：解：（I ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（a_n-1-1），∴，又由S₁=a₁=（a₁-1）得a₁=q，∴數(shù)列a_n是首項a₁=q、公比為q的等比數(shù)列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ
（II）
（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=
∴，∴即
∵n=1時，，∴m≤3，∵m是正整數(shù)，∴m的值為1，2，3
點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運用，解題時要注意等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用．