Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝60º, M為AB邊上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，且CM與DA分別延長(zhǎng)后交于點(diǎn)N,若以菱形的對(duì)角線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)BM＝2t （0＜t＜1）．

（1）試用t表示與,并求它們所成角的大��；

（2）設(shè)f（t）＝·，g（t）＝at＋4－2a（a＞0），分別根據(jù)以下條件，求出實(shí)數(shù)的取值范圍：

①存在t1,t2∈（0,1），使得＝g（t2）；

②對(duì)任意t1∈（0,1），恒存在t2∈（0,1），使得＝g（t2）．

 

Answer 1

（1）；（2）①；②．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線段，由菱形的邊長(zhǎng)為2，，為邊上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，由，可得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，可得向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量夾角公式，可得他們的夾角；（2）由（1）可得的解析式，分別求出兩個(gè)函數(shù)的值域；①若存在，使得成立，則只要兩函數(shù)的值域與存在公共元素即可，②對(duì)任意，恒存在，使得成立，則時(shí)，函數(shù)必取遍函數(shù)值域中的所有值，此即，從而可得取值范圍．

試題解析：（1） 過(guò)點(diǎn)M作坐標(biāo)軸的垂線段，則依題設(shè)易求得

M點(diǎn)的坐標(biāo)為：M（, 1－t） ⇒＝（, 1－t），··· ⑴

依題設(shè)知：△ABD為正三角形，故＝（0, －1），由此知：

＝－＝（, 2－t），······ ⑵

又依題設(shè)知：△BCM∽△ANM ⇒ ＝＝＝⇒ AN＝,又∠NAx＝30º,

以求得，yN＝AN·sin30º＝，且xN＝＋AN·cos30º＝，由此可得：＝（,），

又＝（0, 1），⇒ ＝－＝（,）．······ ⑶

由⑵，⑶兩式得：·＝2（），且||||＝4（）．

故cos＜，＞＝，又＜，＞∈[0,π] ⇒ ＜，＞＝60º為所求．

（2）由（1）知：f（t）＝2（），且由0＜t＜1知：f（t）＞2⇒函數(shù)y＝的值域?yàn)锳＝（0,1）．

另由a＞0知：函數(shù)y＝g（t），t1∈（0,1）的值域?yàn)椋築＝（4－2a,4－a）．

①若存在t1,t2∈（0,1），使得＝g（t2） 成立，則只要兩函數(shù)的值域A＝（0,1）與B＝（4－2a,4－a）

存在公共元素即可．此時(shí)A與B間的關(guān)系有以下三種可能：

（1） A⊆B時(shí)，則必 ⇒ 2≤a≤3；

（2） A∩B≠ 時(shí)，則0＜4－2a＜1，或0＜4－a＜1，⇒＜a＜2，或3＜a＜4；

（iii） B⊆A時(shí)，則必 ⇒a無(wú)解． 綜上，＜a＜4，為所求．

②對(duì)任意t1∈（0,1），恒存在t2∈（0,1），使得＝g（t2）成立，則t∈（0,1）時(shí)，函數(shù)y＝g（t）必取遍函數(shù)y＝值域A＝（0,1） 中的所有值，此即A⊆B，故由①知：2≤a≤3為所求．

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平面向量共線，夾角，數(shù)量積．