Question

已知函數f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（1）用“五點作圖法”畫出函數f（x）在一個周期內的圖象；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）求函數f（x）取得最大值和最小值時的集合．

Answer 1

考點：五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）先化簡求出函數的解析式，然后列表描點即可用“五點作圖法”畫出函數f（x）在一個周期內的圖象；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）令2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，2x+

π

3

=2kπ+

3π

2

，k∈Z，從而可求函數f（x）取得最大值和最小值時的集合．

解答： 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

=sin（2x+

π

3

）
列表：…（6分）

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y	0	1	0	-1	0

描點、連線如圖所示．…（12分）

（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，故函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，故函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；
（3）由f（x）_max=1，可解得2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，從而有x=kπ+

π

12

，k∈Z；
由f（x）_min=-1，可解得2x+

π

3

=2kπ+

3π

2

，k∈Z，從而有x=kπ+

7π

12

，k∈Z．

點評：本題主要考查了五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．