【題目】如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分別為AC、DC的中點(diǎn).

(1)求證:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.

【答案】
(1)證明:由題意,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,易得B(0,0,0),A(0,﹣1, ),D( ,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0, , ),F(xiàn)( , ,0),所以 =( ,0,﹣ ), =(0,2,0),因此 =0,所以EF⊥BC.
(2)解:在圖中,設(shè)平面BFC的一個(gè)法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),又 =( , ,0), =(0, , ),

得其中一個(gè) =(1,﹣ ,1),

設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,由題意知θ為銳角,則

cosθ=|cos< , >|=| |= ,

因此sinθ= = ,即所求二面角正弦值為


【解析】(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,得到E、F、B、C點(diǎn)的坐標(biāo),易求得此 =0,所以EF⊥BC;(2)設(shè)平面BFC的一個(gè)法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),依題意,可求得一個(gè) =(1,﹣ ,1),設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,可求得sinθ的值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè),函數(shù),函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,對(duì)甲項(xiàng)目每投資10萬(wàn)元,一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為;已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中,價(jià)格下降的概率都是p(0<p<1),設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨(dú)立的調(diào)整.記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X,對(duì)乙項(xiàng)目每投資10萬(wàn)元,X取0、1、2時(shí),一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元.隨機(jī)變量X1、X2分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資10萬(wàn)元一年后的利潤(rùn).

(1)求X1,X2的概率分布和均值E(X1),E(X2);

(2)當(dāng)E(X1)<E(X2)時(shí),求p的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)上的增函數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)取最大值時(shí),若存在點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)的直線與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形,且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等,則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

上年度出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

保費(fèi)

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:

出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求P(A)的估計(jì)值;

(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”,求P(B)的估計(jì)值;

(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試卷中隨機(jī)抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本,分別統(tǒng)計(jì)出這些試卷總分,由總分得到如下的頻率分別直方圖.

(1)求這100份數(shù)學(xué)試卷成績(jī)的中位數(shù);

(2)從總分在的試卷中隨機(jī)抽取2份試卷,求抽取的2份試卷中至少有一份總分少于65分的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,矩形是一個(gè)歷史文物展覽廳的俯視圖,點(diǎn)上,在梯形區(qū)域內(nèi)部展示文物,是玻璃幕墻,游客只能在區(qū)域內(nèi)參觀.在上點(diǎn)處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控?cái)z像頭.為監(jiān)控角,其中、在線段(含端點(diǎn))上,且點(diǎn)在點(diǎn)的右下方.經(jīng)測(cè)量得知:米,米,米,.記(弧度),監(jiān)控?cái)z像頭的可視區(qū)域的面積為平方米.

(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;(參考數(shù)據(jù):

(2)求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知雙曲線C: ﹣y2=1(a>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A,B分別在C的兩條漸近線AF⊥x軸,AB⊥OB,BF∥OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求雙曲線C的方程;
(2)過(guò)C上一點(diǎn)P(x0 , y0)(y0≠0)的直線l: ﹣y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M,與直線x= 相交于點(diǎn)N.證明:當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí), 恒為定值,并求此定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,數(shù)列滿足:,.

(1)求;

(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和;

(3)記集合,若的子集個(gè)數(shù)為32,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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