Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，且PD=AD=2

2

．
（1）求證：MN∥平面PCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)E，連結(jié)ME，NE，由已知得ME∥PD，NE∥CD，由此能證明平面MNE∥平面PCD．
（2）由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得PD⊥AC，從而AC⊥平面PBD，由此能證明平面PAC⊥平面PBD．
（3）PD為三棱錐P-ABC的高，由此能求出三棱錐P-ABC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取AD中點(diǎn)E，連結(jié)ME，NE，
由已知得M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，
∴ME∥PD，NE∥CD，
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面PCD．
（2）證明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）解：PD⊥平面ABCD，∴PD為三棱錐P-ABC的高，
∵底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，
M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，且PD=AD=2

2

．
∴三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S△ABC•PD=

8 2

3

．

點(diǎn)評：本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．