Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）
（1）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)．求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）≥mlog2x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

此時(shí)， ．，∵ ∴

所以函數(shù)的值域?yàn)? ；

（2）f（x）≥mlog2x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，

即2t2﹣3t+1≥mt對(duì)t∈[1，2]恒成立，∴ ，

易知 ，∴g（t）min=g（1）=0，∴m≤0．

【解析】通過(guò)換底公式后f（x）=，令，x∈[2，4]時(shí)，t∈[，1]，換元后求出函數(shù)的值域，（2）f（x）≥mlog2x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，即2t2﹣3t+1≥mt對(duì)t∈[1，2]恒成立，進(jìn)行參變分離可得到m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域和基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿(mǎn)足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．