Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)恰好有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）分4種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可篩選出符合題意的實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，由得，

所以， 增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

（2）由（1），當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R遞增，沒有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）f（0）＝0，故f（x）僅有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，已知f（0）＝0，故f（﹣lna）>0，

取f（﹣2lna）＝-（+2lna﹣a），再令函數(shù)g（a）＝+2lna﹣a，

故g′（a）＝﹣＜0，故g（a）＞g（1）＝0，故f（﹣2lna）<0，

f（x）在（﹣lna，﹣2lna）上也有1個(gè)零點(diǎn)， 符合題意；

當(dāng)a＞1時(shí)，f（0）＝0，故f（﹣lna）>0，

取，得f（x）在（﹣a，﹣lna）上也有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意，

綜上，若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a∈（0，1）∪（1，+∞）．