Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f（x）取得極小值-

2

3

．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）圖象關(guān)于原點對稱，所以f（x）是奇函數(shù)，所以b=d=0，根據(jù)x=1時，f（x）取得極小值-

2

3

得到：

f′(1)=0 f(1)=- 2 3

，這樣即可求得a，c；
（2）先判斷出f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，這樣即得到|f（x₁）-f（x₂）|≤f（-1）-f（1），所以求f（-1），f（1）即可．

解答： 解：（1）∵f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴b=0，d=0；
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c；
又f（x）在x=1處取得極小值-

2

3

；
∴

f′(1)=3a+c=0 f(1)=a+c=- 2 3

，解得a=

1

3

，c=-1；
（2）f（x）=

1

3

x³-x，f′（x）=x²-1；
∴x∈（-1，1）時，f′（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減；
f（-1）=

2

3

，f（1）=-

2

3

；
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的值域為[-

2

3

，

2

3

]；
∴x₁，x₂∈[-1，1]，|f(x1)-f(x2)|≤

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

．

點評：考查奇函數(shù)圖象的特點，極小值的概念，導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．