Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d滿足下列條件：
①過點（0，9）；②方程f（-x）=f（x）的解為-3，0，3；③在x=-1處取得極大值

32

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]（t≤-1）上的最小值為g（t），求g（t）的解析式．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意得方程組求出a，b，c的值，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）通過討論t的范圍，從而表示出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，進而求出g（t）的表達式．

解答： 解：（1）①∵過點（0，9）∴d=9；
②∵f（-x）=f（x）得x（ax²+c）=0，∵-3，0，3是方程的解，∴有9a+c=0，
③f′（x）=3ax²+2bx+c，∵f（x）在x=-1處取得極大值

32

3

，
∴

3a-2b+c=0 -a+b-c+9= 32 3

，
由①②③解得：a=

1

3

，b=-1，c=-3，d=9，
∴f（x）=

1

3

x3-x2-3x+9；
（2）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
當x＜-1或x＞3時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，
當-1＜x＜3時，f′（x）＜0，∴f（x）在（-1，3）上單調(diào)遞減；
（3）由（2）得：f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，0）遞減，
當-

3

2

≤t＜1時，g（t）=f（x）_min=f（t+1）=

1

3

t³-4t+

16

3

，
當t＜-

3

2

時，g（t）=f（x）_min=f（t）=

1

3

t³-t²-3t+9，
∴g（t）=

1 3 t3-4t+ 16 3 ，(- 3 2 ≤t＜-1) 1 3 t3-t2-3t+9，(t＜- 3 2 )

．

點評：本題考查了求函數(shù)的解析式問題，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導數(shù)的應用，考查分類討論思想，是一道中檔題．