Question

某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A，B，Ｃ三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為２,２,１（單位：件）.已知每個工人每天可生產(chǎn)Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.該企業(yè)計劃安排２００名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)Ｂ部件的人數(shù)與生產(chǎn)Ａ部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（k為正整數(shù)）.
（１）設(shè)生產(chǎn)Ａ部件的人數(shù)為ｘ，分別寫出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件生產(chǎn)需要的時間；
（２）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時間最短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案.

Answer 1

（1）
（2）
（3）當時完成訂單任務(wù)的時間最短，此時生產(chǎn)Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的人數(shù)分別為44,88,68

解：（Ⅰ）設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時間（單位：天）分別為由題設(shè)有
期中均為1到200之間的正整數(shù).
（Ⅱ）完成訂單任務(wù)的時間為其定義域為
易知，為減函數(shù)，為增函數(shù).注意到
于是
（1）當時， 此時
，
由函數(shù)的單調(diào)性知，當時取得最小值，解得
.由于
.
故當時完成訂單任務(wù)的時間最短，且最短時間為.
（2）當時， 由于為正整數(shù)，故，此時易知為增函數(shù)，則.
由函數(shù)的單調(diào)性知，當時取得最小值，解得.由于
此時完成訂單任務(wù)的最短時間大于.
（3）當時， 由于為正整數(shù)，故，此時由函數(shù)的單調(diào)性知，
當時取得最小值，解得.類似（1）的討論.此時
完成訂單任務(wù)的最短時間為，大于.
綜上所述，當時完成訂單任務(wù)的時間最短，此時生產(chǎn)Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的人數(shù)
分別為44,88,68.
【點評】本題為函數(shù)的應(yīng)用題，考查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值等，考查運算能力及用數(shù)學(xué)知識分析解決實際應(yīng)用問題的能力.第一問建立函數(shù)模型；第二問利用單調(diào)性與最值來解決，體現(xiàn)分類討論思想