已知,函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解,求的取值范圍;
(Ⅱ)已知曲線在其圖象上的兩點(diǎn),()處的切線分別為.若直線與平行,試探究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(Ⅰ)(1) 單調(diào)遞增區(qū)間為 ;(2) ;(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)(1)根據(jù)求出的值,然后利用,得到函數(shù)在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的,從而寫出其單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),將不等式化簡(jiǎn),整理為在區(qū)間上有解問(wèn)題,可以反解,利用不等式在區(qū)間上有解,即大于等于其最小值,轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間上的最小值,
(Ⅱ)的對(duì)稱中心為,故合情猜測(cè),若直線與平行,則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.然后對(duì)猜測(cè)進(jìn)行證明,首先求其兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),即兩切線的斜率,利用平行及斜率相等,證明,.
試題解析:(Ⅰ)(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.022.png">,所以, 1分
則,
而恒成立,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 4分
(2)不等式在區(qū)間上有解,
即不等式在區(qū)間上有解,
即不等式在區(qū)間上有解,
等價(jià)于不小于在區(qū)間上的最小值. 6分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.029.png">時(shí),,
所以的取值范圍是. 9分
Ⅱ.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.032.png">的對(duì)稱中心為,
而可以由經(jīng)平移得到,
所以的對(duì)稱中心為,故合情猜測(cè),若直線與平行,
則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱. 10分
對(duì)猜想證明如下:
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.034.png">,
所以,
所以,的斜率分別為,.
又直線與平行,所以,即,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.041.png">,所以,, 12分
從而,
所以.
又由上 ,
所以點(diǎn),()關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
故當(dāng)直線與平行時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱. 14分
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間;2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的綜合問(wèn)題.
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如圖,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB=1,為△ABC內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別引三邊的平行線,與各邊圍成以P為頂點(diǎn)的三個(gè)三角形(圖中陰影部分),則這三個(gè)三角形的面積和的最小值為( )
A. B.
C. D.
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在中,如果,那么等于( )
A. B. C. D.
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設(shè)函數(shù)的圖象與直線軸所圍成的圖形的面積稱為在上的面積,則函數(shù)上的面積為 .
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函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為( )
A.(0,) B.(,) C.(,1) D.(1,2)
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已知函數(shù). 若關(guān)于的不等式的解集為空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
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設(shè)平面向量,,其中記“使得成立的”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D.
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將長(zhǎng)度為的線段分成段,每段長(zhǎng)度均為正整數(shù),并要求這段中的任意三段都不能構(gòu)成三角形.例如,當(dāng)時(shí),只可以分為長(zhǎng)度分別為1,1,2的三段,此時(shí)的最大值為3;當(dāng)時(shí),可以分為長(zhǎng)度分別為1,2,4的三段或長(zhǎng)度分別為1,1,2,3的四段,此時(shí)的最大值為4.則:
(1)當(dāng)時(shí),的最大值為________;(2)當(dāng)時(shí),的最大值為________.
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已知函數(shù),若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.
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