(Ⅰ)解:由已知:
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(x>0),
∵函數f(x)=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
.
∴
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,∴a=1.
∴
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,
當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f (x)為增函數,當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f (x)為減函數,
∴f (x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,+∞). …(5分)
(Ⅱ)解:?x∈(0,+∞),f (x)≤g(x),即lnx-(k+1)x≤0恒成立,
設h(x)=lnx-(k+1)x,有
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.
①當k+1≤0,即k≤-1時,h′(x)>0,此時h(1)=ln1-(k+1)≥0與h(x)≤0矛盾.
②當k+1>0,即k>-1時,令h′(x)=0,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/152502.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/317329.png)
,h′(x)>0,h(x)為增函數,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/317330.png)
,h′(x)<0,h(x)為減函數,
∴h(x)
max=h(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16334.png)
)=ln
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-1≤0,
即ln(k+1)≥-1,解得k≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/149599.png)
.
綜合k>-1,知k≥
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.
∴綜上所述,k的取值范圍為[
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,+∞).…(10分)
(Ⅲ)證明:由(Ⅰ)知f (x)在(0,1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數,
∴f (x)≤f (1)=0,∴l(xiāng)nx≤x-1.
當n=1時,b
1=ln(1+1)=ln2,
當n≥2時,有l(wèi)n(n+1)<n,
∵b
n=
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<
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=
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<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6904.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6905.png)
,
∴b
1+b
2+…+b
n<b
1+(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/317332.png)
)+…+(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6905.png)
)=ln2+(1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/656.png)
)<1+ln2.…(14分)
分析:(Ⅰ)求導數,利用函數f(x)=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-
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,可確定a的值,利用導數的正負,可得函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)?x∈(0,+∞),f (x)≤g(x),即lnx-(k+1)x≤0恒成立,構造函數h(x)=lnx-(k+1)x,利用h(x)
max≤0,即可求得k的取值范圍;
(Ⅲ)先證明當n≥2時,有l(wèi)n(n+1)<n,再利用放縮法,裂項法,即可證得結論.
點評:本題考查導數知識的運用,考查函數的單調性,考查恒成立問題,考查不等式的證明,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.