精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知函數f(x)=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-數學公式
(I)求實數a的值及函數f(x)的單調區(qū)間;
(II)設g(x)=kx+1,對?x∈(0,+∞),f(x)≤g(x)恒成立,求實數k的取值范圍;
(III)設bn=數學公式,證明:b1+b2+…+bn<1+ln2(n∈N*,n≥2).

(Ⅰ)解:由已知:(x>0),
∵函數f(x)=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-
,∴a=1.

當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f (x)為增函數,當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f (x)為減函數,
∴f (x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,+∞). …(5分)
(Ⅱ)解:?x∈(0,+∞),f (x)≤g(x),即lnx-(k+1)x≤0恒成立,
設h(x)=lnx-(k+1)x,有
①當k+1≤0,即k≤-1時,h′(x)>0,此時h(1)=ln1-(k+1)≥0與h(x)≤0矛盾.
②當k+1>0,即k>-1時,令h′(x)=0,解得,
,h′(x)>0,h(x)為增函數,,h′(x)<0,h(x)為減函數,
∴h(x)max=h()=ln-1≤0,
即ln(k+1)≥-1,解得k≥
綜合k>-1,知k≥
∴綜上所述,k的取值范圍為[,+∞).…(10分)
(Ⅲ)證明:由(Ⅰ)知f (x)在(0,1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數,
∴f (x)≤f (1)=0,∴l(xiāng)nx≤x-1.
當n=1時,b1=ln(1+1)=ln2,
當n≥2時,有l(wèi)n(n+1)<n,
∵bn===,
∴b1+b2+…+bn<b1+()+…+()=ln2+(1-)<1+ln2.…(14分)
分析:(Ⅰ)求導數,利用函數f(x)=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-,可確定a的值,利用導數的正負,可得函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)?x∈(0,+∞),f (x)≤g(x),即lnx-(k+1)x≤0恒成立,構造函數h(x)=lnx-(k+1)x,利用h(x)max≤0,即可求得k的取值范圍;
(Ⅲ)先證明當n≥2時,有l(wèi)n(n+1)<n,再利用放縮法,裂項法,即可證得結論.
點評:本題考查導數知識的運用,考查函數的單調性,考查恒成立問題,考查不等式的證明,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為( �。�

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數a的不同取值,寫出該函數的單調增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數的解析式;
(3)記(2)中的函數圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案