Question

解下列不等式：
（1）|x+1|（2-x）＜4；
（2）|

ax-1

x

|＞a．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的兩個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）分當(dāng)a＜0、當(dāng)a=0、當(dāng)a＞0三種情況，分別求得不等式的解集，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由|x+1|（2-x）＜4，可得

x≥-1 (x+1)(2-x)＜4

①，或 

x＜-1 (-x-1)(2-x)＜4

②．
解①求得x≥-1，解②求得-2＜x＜-1，
故原不等式的解集為{x|x＞-2}．
（2）對(duì)于不等式|

ax-1

x

|＞a，當(dāng)a＜0時(shí)，顯然成立，故a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x≠0}．
當(dāng)a=0時(shí)，不等式即|

1

x

|＞0，不等式的解集為{x|x≠0}．
當(dāng)a＞0時(shí)，由不等式|

ax-1

x

|＞a可得

x≠0 |ax-1|＞a|x|

，即

x≠0 (ax)2-2ax+1＞(ax)2

，解得x＜

1

2a

，即不等式的解集為（-∞，

1

2a

）．
綜上可得，a≤0時(shí)，不等式的解集為{x|x≠0}；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為（-∞，

1

2a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．