Question

下列命題：
①函數y=sin（2x+

π

3

）的單調減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；
②函數y=

3

cos2x-sin2x圖象的一個對稱中心為（

π

6

，0）；
③函數y=sin（

1

2

x-

π

6

）在區(qū)間[-

π

3

，

11π

6

]上的值域為[-

3

2

，

2

2

]；
④函數y=cosx的圖象可由函數y=sin（x+

π

4

）的圖象向右平移

π

4

個單位得到；
⑤若方程sin（2x+

π

3

）-a=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數解x₁，x₂，則x₁+x₂=

π

6

．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：①令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ可求
②利用兩角和的余弦公式化簡可得y=2cos(2x+

π

6

)，令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，求出函數的對稱中心
③由

-π

3

≤x≤

11π

6

可得

-π

3

≤

1

2

x-

π

6

≤

3π

4

，結合正弦函數的圖象可求函數的值域
④根據函數的圖象平移法則：左加右減的平移法則可得
⑤根據正弦函數的圖象結合函數的對稱性可得．

解答：解：①令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤ 

3π

2

+2kπ，解得

π

12

+2kπ≤ x ≤

7π

12

+kπ，k∈Z，，故①正確
②y=

3

cos2x-sin2x=2cos(2x+

π

6

)，令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

π

6

+kπ，
k=0時函數的一個對稱中心（

π

6

，0）②正確
③y=sin(

1

2

x-

π

6

)，當-

1

3

π≤x≤

11

6

π，-

π

3

≤ 

1

2

x-

π

6

≤  

3π

4

，結合正弦函數的圖象可得-

3

2

≤y≤1，③錯誤
④由函數y=sin（x+

π

4

）的圖象向右平移

π

4

個單位得到y(tǒng)=sinx的圖象，故④錯誤
⑤令y=sin（2x+

π

3

），當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4

3

π]，若使方程有兩解，則兩解關于x=

π

12

對稱，
則x₁+x₂=

π

6

，故⑤正確
故答案為：①②⑤

點評：本題綜合考查了三角函數y=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0）的性質：函數的單調區(qū)間的求解，函數的對稱中心的求解，函數在閉區(qū)間上的最值的求解及函數圖象的平移，還用到了兩角和的余弦公式，而解決本題的關鍵是要熟練掌握并能靈活運用三角函數的圖象．