Question

設(shè)橢圓C：x²+2y²=2b²（常數(shù)b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，M，N是直線(xiàn)l：x=2b上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，．
（1）若，求b的值；
（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（2b，y₁），N（2b，y₂），根據(jù)橢圓方程得到橢圓左、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和向量模的公式建立關(guān)于b、y₁、y₂的方程組，消去y₁、y₂，可得正數(shù)b的值．
（2）由（1）設(shè)的坐標(biāo)，得|MN|=|y₁-y₂|，將其平方再用基本不等式，即可得到當(dāng)且僅當(dāng)y₁、y₂互為相反數(shù)且其中一個(gè)為時(shí)，|MN|²的最小值為12b²，由此得到|MN|的最小值．
解答：解：設(shè)M（2b，y₁），N（2b，y₂）…（1分）
∵橢圓方程為，∴橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-b，0），F(xiàn)₂（b，0），
由此可得：，
∵，∴3b•b+y₁y₂=0，得①…（3分）
（1）由，得
…②，③…（5分）
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，可得． …（8分）
（2）∵M(jìn)（2b，y₁），N（2b，y₂），
∴，（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，|MN|取最小值． …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．