Question

選做題
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，自⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線PC和割線PBA，點(diǎn)C為切點(diǎn)，割線PBA交⊙O于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上．作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D．
求證：．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)a，b∈R，若矩陣把直線l：y=2x-4變換為直線l′：y=x-12，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
求橢圓C：=1上的點(diǎn)P到直線l：3x+4y+18=0的距離的最小值．
D．選修4-5不等式選講
已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x²+y²+z²+x+2y+3z=，求x+y+z的最大值．

Answer 1

【答案】分析：A．利用弦切角定理可以證明∠PCB=∠PAC，又∠BPC=∠CPA，從而有△PCB∽△PAC，得到比例式，①又在直角三角形ABC中，有，②，等量代換得．
B．在直線l取兩點(diǎn)M（2，0），N（0，-4），M，N在矩陣A對應(yīng)的變換作業(yè)下分別對應(yīng)于點(diǎn)M'，N'，分別求出點(diǎn)M'，N'的坐標(biāo)，代入直線l′，建立方程組，解之即可．
C．先求出橢圓的參數(shù)方程點(diǎn)P（4cosθ，3sinθ）到直線l的距離d，再由和（差）角公式求出橢圓上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值．
D．利用題中條件可化為：（x+）²+（y+1）²+（x+）²=，根據(jù)柯西不等式可得到[（x+）+（y+1）+（x+）]²≤3[（x+）²+（y+1）²+（x+）]=，從而求出x+y+z的最小值．
解答：解：A．證明：連接BC、AC，
∵PC作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，
∴∠PCB=∠PAC，
又∵∠BPC=∠CPA，
∴△PCB∽△PAC；
∴，①
又在直角三角形ABC中，有，②
由①②得．
B：在直線l取兩點(diǎn)M（2，0），N（0，-4）
M，N在矩陣A對應(yīng)的變換作業(yè)下分別對應(yīng)于點(diǎn)M'，N'
因 =，所以M'的坐標(biāo)為（2a，-2）；
=，所以N'的坐標(biāo)為（0，-4b）；
由題意可知M'，N'在直線l′上，
所以
解得：a=5，b=3．
C：∵設(shè)P（4cosθ，3sinθ）到直線l的距離：
d==
當(dāng)sin（）=-1時，等號成立，
故d的最小值為．
D．條件可化為：（x+）²+（y+1）²+（z+）²=
則：[（x+）+（y+1）+（z+）]²≤3[（x+）²+（y+1）²+（z+）²]=
得x+y+z≤，當(dāng)且僅當(dāng)：x+=y+1=z+時取等號，
∴x+y+z的最小值為：．
點(diǎn)評：A．本題考查了弦切角定理，切線的性質(zhì)定理，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．
B．本題主要考查了變換、矩陣的相等、幾種特殊的矩陣變換，同時考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
C．本題以橢圓為載體，考查橢圓的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、和（差）角公式，綜合性強(qiáng)，考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．
D．本題考查用柯西不等式求最值，關(guān)鍵是利用構(gòu)造利用一般形式的柯西不等式．