Question

若n∈N^*，且n為奇數(shù)，則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1被8除所得的余數(shù)是（　　）

Answer 1

分析：法一：根據(jù)題意，由二項式定理，可以將6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1變形為C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-2，又由n為奇數(shù)，則可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-3，分析可得答案；
法二，用特殊制法，根據(jù)題意，n∈N^*，且n為奇數(shù)，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=6-1=5，分析可得答案．

解答：解：法一：根據(jù)題意，6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1
=6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6+C_nⁿ-2
=（6+1）ⁿ-2=7ⁿ-2=（8-1）ⁿ-2
=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-2
又由n為奇數(shù)，則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-3，
且C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8可以被8整除，
則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1被8除所得的余數(shù)是5；
法二，根據(jù)題意，n∈N^*，且n為奇數(shù)，
在6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1中，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=6-1=5，
被8除，所得的余數(shù)為5，
故選C，

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)二項式定理，靈活將6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1變形，對于選擇題，法二是簡便易行的方法．