Question

過(guò)雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左焦點(diǎn)F₁且傾斜角為45°的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)P，若線(xiàn)段PF₁的中點(diǎn)Q落在y軸上，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（　　）

• A、

  3

• B、1+

  3

• C、

  2

• D、1+

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)F₁（-c，0），P（x₀，y₀），依題意可求得直線(xiàn)PF₁的方程為：y=x+c，△MF₁O為直角三角形，經(jīng)分析知OM為直角三角形PF₁F₂的中位線(xiàn)，從而可求得|PF₁|與|PF₂|，利用雙曲線(xiàn)定義及離心率公式即可求得答案．

解答： 解：設(shè)F₁（-c，0），P（x₀，y₀），
依題意，直線(xiàn)PF₁的方程為：y=x+c，
設(shè)直線(xiàn)PF₁與y軸的交點(diǎn)為M（0，m），
∵M(jìn)為線(xiàn)段PF₁的中點(diǎn)，
∴

x0-c

2

=0，m=

y0

2

．
∴x₀=c，
∴y₀=x₀+c=2c，m=c．
∵△MF₁O為直角三角形，∠PF₁O=45°，
∴|MF₁|=

2

|OM|=

2

c；
又M為線(xiàn)段PF₁的中點(diǎn)，O為F₁F₂的中點(diǎn)，
∴OM為直角三角形PF₁F₂的中位線(xiàn)，
∴|PF₁|=2

2

c，|PF₂|=2c，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=（2

2

-2）c，
∴其離心率e=

c

a

=1+

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考查雙曲線(xiàn)的定義，求得|PF₁|與|PF₂|是關(guān)鍵，考查作圖、分析、與運(yùn)算能力，屬于中檔題．