在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,?

(1)求A1B與平面ABD所成角的正弦值；?

(2)求點(diǎn)A1到平面ABD的距離.

解析：(1)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A1(a,0,0),則B1(0,a,0),A(a,0,2),B(0,a,2),C(0,0,2).?

∵D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，?

∴D(0,0,1)，E(,,1).?

∵G是△ABD的重心，G(, ,),?

∴=(,,-),=(a,-a,0),=(0,-a,-1).?

∵EG⊥平面ABD，EG⊥AB，EG⊥AD，得a=2,且A1B與平面ABD所成角為∠EBG，||=,BE= BA1=,sin∠EBG=.?

(2)E是A1B的中點(diǎn)，A1到平面ABD的距離等于E到平面ABD的距離的兩倍,?

∴EG⊥平面ABD，A1到平面ABD的距離等于2||=.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大��；
（Ⅲ）求直線(xiàn)B′D與平面AB′C所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•瀘州一模）如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=CA=a，AA′=
2
a，則AB′與側(cè)面AC′所成角的大小為
30°
30°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=a （a為常數(shù)）．
（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)確定一條直線(xiàn)，使該直線(xiàn)與直線(xiàn)CE垂直；
（Ⅱ）判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值．若是定值，求出這個(gè)三棱錐的體積；若不是定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線(xiàn)B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA′=2，
（1）欲過(guò)點(diǎn)A′作一截面與平面AC'D平行，問(wèn)應(yīng)當(dāng)怎樣畫(huà)線(xiàn)，寫(xiě)出作法，并說(shuō)明理由；
（2）求異面直線(xiàn)BA′與 C′D所成角的余弦值．

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