Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即 b=1，
∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
設(shè)x1＜x2則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =
因為函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）= ＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)
（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)，又因為f（x）是奇函數(shù)，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因為f（x）為減函數(shù)，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2 ．
即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
從而判別式 ．
所以k的取值范圍是k＜﹣
【解析】（Ⅰ）利用奇函數(shù)定義f（x）=﹣f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；（Ⅱ）設(shè)x1＜x2然后確定f（x1）﹣f（x2）的符號，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（III）結(jié)合單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減即可以解答此題．