Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₂C₃的底面是邊長為4正三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=2

6

，M為A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求證：MC⊥AB；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在點P，使得MC⊥平面ABP？若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若點P為CC₁的中點，求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AB中點O，連接OM，OC，證明AB⊥平面OMC，可得MC⊥AB；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，設P（0，2

3

，t）（0≤t≤2

6

），要使直線MC⊥平面ABP，只要

MC

•

OP

=0，

MC

•

AB

=0，即可得出結論；
（Ⅲ）若點P為CC₁的中點，求出平面PAC的一個法向量、平面PAB的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-AP-C的余弦值．

解答： （I）證明：取AB中點O，連接OM，OC．
∵M為A₁B₁中點，∴MO∥A₁A，
又A₁A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，
∴MO⊥AB
∵△ABC為正三角形，∴AB⊥CO  
又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC
又∵MC?平面OMC∴AB⊥MC
（II）解：以O為原點，建立空間直角坐標系．如圖．
依題意O（0，0，0），A（-2，0，0）B（2，0，0），C（0，2

3

，0），M（0，0，2

6

）．    
設P（0，2

3

，t）（0≤t≤2

6

），
則

MC

=（0，2

3

，-2

6

），

AB

=（4，0，0），

OP

=（0，2

3

，t）．
要使直線MC⊥平面ABP，只要

MC

•

OP

=0，

MC

•

AB

=0，
即12-2

6

t=0，解得t=

6

．         
∴P的坐標為（0，2

3

，

6

）．
∴當P為線段CC₁的中點時，MC⊥平面ABP
（Ⅲ）解：取線段AC的中點D，則D（-1，

3

，0），易知DB⊥平面A₁ACC₁，
故

DB

=（3，-

3

，0）為平面PAC的一個法向量．…．（11分）
又由（II）知

MC

=（0，2

3

，-2

6

）為平面PAB的一個法向量．    
設二面角B-AP-C的平面角為α，則cosα=|

MC • DB

| MC || DB |

|=

3

6

．
∴二面角B-AP-C 的余弦值為

3

6

．

點評：本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想．