Question

有一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長均為4的直三棱柱封閉容器內(nèi)可以向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是________．

Answer 1

72+18
分析：分別計(jì)算側(cè)面與底面上小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積，即可得到結(jié)論．
解答：（1）側(cè)面：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到同時(shí)接觸到三棱柱容器的兩面內(nèi)壁時(shí)，小球與該兩面內(nèi)壁的接觸點(diǎn)相距這兩面內(nèi)壁的棱必有一段距離，且這兩接觸點(diǎn)到棱的距離相等．從接觸點(diǎn)到棱作垂線，再連接球心與垂足點(diǎn)、球心與接觸點(diǎn)，這樣構(gòu)成一個(gè)直角三角形．
接觸點(diǎn)到棱的距離：小球半徑×tan60°=1×=
該段距離上的內(nèi)壁的面積是：距離×棱長=×4=12
兩面內(nèi)壁的面積是：12×2=24
直三棱柱有三條棱，總不可接觸到的面積是：24×3=72 （cm²）
（2）底面：球與底面相切的面積只是一個(gè)邊長為2的正三角形，剩余的面積為9×2=18
則該小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是72+18
故答案為：72+18
點(diǎn)評：本題考查面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是分側(cè)面與底面分別求解，屬于中檔題．