Question

已知函數(shù)，若同時(shí)滿(mǎn)足條件：

①∃x₀∈（0，+∞），x₀為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；

②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．

（4，8]

B．

[8，+∞）

C．

（﹣∞，0）∪[8，+∞）

D．

（﹣∞，0）∪（4，8]

Answer 1

考點(diǎn)：

函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．

專(zhuān)題：

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．

分析：

求導(dǎo)數(shù)，由①得到；

由②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，

分別解出不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍為4＜a≤8．

解答：

解：由于，則=

令f′（x）=0，則，

故函數(shù)f（x）在（﹣∞，x₁），（x₂，+∞）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減

由于∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，

當(dāng)x₂＞8，即時(shí)，函數(shù)f（x）在（8，+∞）上的最小值為，此時(shí)無(wú)解；

當(dāng)x₂≤8，即時(shí)，函數(shù)f（x）在（8，+∞）上的最小值為，解得a≤8．

又由∃x₀∈（0，+∞），x₀為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，故解得a＞4；

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為4＜a≤8

故答案為 A

點(diǎn)評(píng)：

本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，屬于基礎(chǔ)題．