Question

已知曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的倍；曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線.
(Ⅰ)求,的方程；
(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線,其中與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ),；(Ⅱ).

試題分析：(Ⅰ)求 曲線，則設(shè)該曲線上某點(diǎn)，然后根據(jù)題目條件，得到關(guān)于的方程，再化簡即可得到.曲線可以根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得到，為拋物線焦點(diǎn)，從而得到；(Ⅱ)用點(diǎn)斜式設(shè)出的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，即可得到關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的方程.再根據(jù)韋達(dá)定理即得到的長度.由題意可設(shè)的方程為,代入可得關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的方程.再根據(jù)韋達(dá)定理即得到的長度.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030911339559.png" style="vertical-align:middle;" />，從而四邊形的面積為，經(jīng)化簡，通過基本不等式即可得到四邊形面積的取值范圍為.
試題解析：(Ⅰ)設(shè)，則由題意有,化簡得:.
故的方程為，易知的方程為.                      4分
(Ⅱ)由題意可設(shè)的方程為,代入得,
設(shè),則,
所以.           7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030911589438.png" style="vertical-align:middle;" />,故可設(shè)的方程為,代入得
,設(shè),則,
所以.   10分
故四邊形的面積為

()
設(shè)，因此
,當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立.
故四邊形面積的取值范圍為.                               13分