【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,直線PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC=2AB=2AD=4BE=4.
(I)求證:直線DE⊥平面PAC.
(Ⅱ)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA.又∵AB⊥AD,故可建立建立如圖所示坐標(biāo)系.由已知D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ),(λ>0), =(2,﹣1,0), =(2,4,0), =(0,0,λ),
=4﹣4+0=0, =0.
∴DE⊥AC,DE⊥AP,
∴ED⊥平面PAC.
(Ⅱ)由(Ⅰ),平面PAC的一個(gè)法向量是 , =(2,1,λ).
設(shè)直線PE與平面PAC所成的角為θ,
∴sinθ=|cos |= = ,
解得λ=±2,∵λ>0,∴λ=2,即P(0,0,2).
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為 =(x,y,z), =(2,2,0), =(0,﹣2,﹣2),
∴ ,∴ ,取 =(1,﹣1,﹣1).
∴cos = = ,
顯然二面角A﹣PC﹣D的平面角是銳角,∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD,可得AB⊥PA.又AB⊥AD,可建立建立如圖所示坐標(biāo)系.利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、線面垂直的判定定理即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ),平面PAC的一個(gè)法向量是 , =(2,1,λ).設(shè)直線PE與平面PAC所成的角為θ,可得sinθ=|cos |= ,解得λ.設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為 =(x,y,z), ,可得cos = .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形,△PAB與△ABC是等腰三角形,PA⊥平面ABCD,PA=2,AD=2 ,AC⊥BA,點(diǎn)E是線段AB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)F、G分別在線段PD,PC上.
(Ⅰ)證明:CD⊥AG;
(Ⅱ)若三棱錐E﹣BCF的體積為 ,求 的值.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓C1: + =1(a>b>0)的離心率為 ,過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦,當(dāng)其中一條弦所在直線斜率為0時(shí),兩弦長(zhǎng)之和為6.
(1)求橢圓的方程;
(2)A,B是拋物線C2:x2=4y上兩點(diǎn),且A,B處的切線相互垂直,直線AB與橢圓C1相交于C,D兩點(diǎn),求弦|CD|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)﹣ ,則使得f(x)>f(2x﹣1)成立的取值范圍是( )
A.(﹣∞, )∪(1,+∞)
B.( ,1)
C.( )
D.(﹣∞,﹣ ,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若存在實(shí)常數(shù)k和b,使得函數(shù)F(x)和G(x)對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足:F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立,則稱此直線y=kx+b為F(x)和G(x)的“隔離直線”,已知函數(shù)f(x)=x2(x∈R),g(x)= (x<0),h(x)=2elnx,有下列命題:
①F(x)=f(x)﹣g(x)在 內(nèi)單調(diào)遞增;
②f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”,且b的最小值為﹣4;
③f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”,且k的取值范圍是(﹣4,0];
④f(x)和h(x)之間存在唯一的“隔離直線”y=2 x﹣e.
其中真命題的個(gè)數(shù)為(請(qǐng)?zhí)钏姓_命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)的一種商品進(jìn)行進(jìn)價(jià)是每件10元,根據(jù)一周的銷售數(shù)據(jù)得出周銷售量(件)與單價(jià)(元)之間的關(guān)系如下圖所示,該網(wǎng)店與這種商品有關(guān)的周開支均為25元.
(1)根據(jù)周銷售量圖寫出(件)與單價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)寫出利潤(rùn)(元)與單價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)該商品的銷售價(jià)格為多少元時(shí),周利潤(rùn)最大?并求出最大周利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一個(gè)目標(biāo)射擊1次,甲射中的概率為,乙射中的概率為,求:
(1)2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率;
(2)2人至少有1人射中目標(biāo)的概率.
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【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),對(duì)任意的,均有.當(dāng)時(shí),,則( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= ,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90°
(1)若PB= ,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
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