設(shè)函數(shù)．
（1）試判斷當x＞0，g（x）與f（x）的大小關(guān)系；
（2）求證：…[1+n（n+1）]＞e2n-3（n∈N*）；
（3）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）是函數(shù)y=g（x）的圖象上的兩點，且g′（x）=（其中g(shù)′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：x∈（x1，x2）．
【答案】分析：（1）欲求g（x）與f（x）的大小關(guān)系只需判斷F（x）=g（x）-f（x）的正負，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F（x）的最小值，使最小值與0比較即可；
（2）由（1）知 令x=n（n+1）（n∈N*），則，從而可證得結(jié)論；
（3）根據(jù)，于是，，然后證明，等價于x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0，令h（x）=xlnx2-xlnx1-x2+x，利用導(dǎo)數(shù)研究最小值與0比較，對于 同理可證，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)F（x）=g（x）-f（x）（x＞0）
則F′（x）=-
由F′（x）=0得x=3
當0＜x＜3時，F(xiàn)′（x）＜0；當x＞3時，F(xiàn)′（x）＞0
∴x=3時，F(xiàn)（x） 取得最小值為F（3）=ln3-1＞0 
∴F′（x）＞0即g（x）＞f（x） …（5分）
（2）證明：由（1）知 
令x=n（n+1）（n∈N*），則 …（7分）
∴l(xiāng)n（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2-）+（2-）+…+[2-]
=2n-3[++…+]
=2n-3（1-）＞2n-3
∴（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3…（10分）
（3）證明：，于是，，
以下證明 
等價于x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0．
令h（x）=xlnx2-xlnx1-x2+x …（12分）
則h'（x）=lnx2-lnx1，在 上，h'（x）＞0 
所以h（x）在（0，x2]上為增函數(shù)
當x1＜x2時h（x1）＜h（x2）=0，即x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0 
從而x＞x1，得到證明．對于 同理可證．
所以x∈（x1，x2）．…（16分）
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，以及考查計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，若對集合D中的任意兩數(shù)x1，x2恒有f(
1
4
x1+
3
4
x2)＜
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)成立，則f（x）是定義在D上的β函數(shù)．
（1）試判斷f（x）=x2是否是其定義域上的β函數(shù)？
（2）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求證：f（x）不是定義在R上的β函數(shù)．
（3）設(shè)f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，若對任意實數(shù)α∈[0，1]以及集合D中的任意兩數(shù)x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）是定義在D上的α-β函數(shù)．已知f（x）是定義在R上的α-β函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，記∫=a1+a2+a3+…+am，對任意滿足條件的函數(shù)f（x），求∫的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，則稱f（x）為定義在D上的下凸函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)g（x）=2x（x∈R），k(x)=
1x
 (x＜0)是否為各自定義域上的下凸函數(shù)，并說明理由；
（2）若h（x）=px2（x∈R）是下凸函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（3）已知f（x）是R上的下凸函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)f（0）=0，f（m）=2m，記Sf=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)y=f（x），定義：若存在非零常數(shù)M、T，使函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都滿足f（x+T）-f（x）=M，則稱函數(shù)y=f（x）是準周期函數(shù)，常數(shù)T稱為函數(shù)y=f（x）的一個準周期．如函數(shù)f（x）=x+（-1）x（x∈Z）是以T=2為一個準周期且M=2的準周期函數(shù)．
（1）試判斷2π是否是函數(shù)f（x）=sinx的準周期，說明理由；
（2）證明函數(shù)f（x）=2x+sinx是準周期函數(shù)，并求出它的一個準周期和相應(yīng)的M的值；
（3）請你給出一個準周期函數(shù)（不同于題設(shè)和（2）中函數(shù)），指出它的一個準周期和一些性質(zhì)，并畫出它的大致圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源：江西省重點中學盟校2010屆高三第二次聯(lián)考理科試題 題型：解答題

（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，若|f(x)|≤|x|對任意的實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f(x)為函數(shù)。
（1）試判斷函數(shù)= =中哪些是函數(shù)，并說明理由；
（2）求證：若a>1，則函數(shù)f(x)=ln(x2+a)-lna是函數(shù)。

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