Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁₂+a₁₅=15，a₇=1，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和題意，列出關(guān)于數(shù)列的首項和公差的方程組，解得到公差和首項，代入通項公式化簡；
（2）根據(jù)（1）先求出數(shù)列{a_n}的前n項和，再由a_n的正負項對n進行分類，利用等差數(shù)列的前n項和公式，分別化簡數(shù)列{|a_n|}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差是d，
因為a₁₂+a₁₅=15，a₇=1，
所以

2a1+25d=15 a1+6d=1

，解得

a1=-5 d=1

，
所以a_n=-5+（n-1）=n-6；
（2）由（1）知a_n=n-6，令a_n=0得n=6，
設T_n=a₁+a₂+…+a_n=-5+（-4）+…+（n-6）
=

n(-5+n-6)

2

=

n(n-11)

2

，
當n≤6時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-

n(n-11)

2

，
當n＞6時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|
=-（a₁+a₂+…+a₆）+（a₇+a₈+…+a_n）
=T_n-2T₆=

n(n-11)

2

-2×

6(6-11)

2

=

n2-11n+60

2

，
綜上得，S_n=

- n(n-11) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n＞6

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，以及利用分類討論思想求數(shù)列的前n項和，這是�？嫉念}型．