Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b、c∈R），不論α、β為何實數(shù)，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求證：b+c=-1；
（2）求證：c≥3；
（3）若函數(shù)f（sinα）的最大值為8，求b、c的值．

Answer 1

解：（1）證明：∵|sinα|≤1且f（sinα）≥0恒成立，可得f（1）≥0．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立，可得f（1）≤0，
∴f（1）=0，
∴1+b+c=0，∴b+c=-1．
（2）證明：∵b+c=-1，∴b=-1-c，
∴f（x）=x²-（1+c）x+c=（x-1）（x-c）．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立
∴x-c≤0，即c≥x恒成立．
∴c≥3．
（3）∵f（sinα）=sin²α-（1+c）sinα+c=（sinα-）²+c-（）²，
∵
∴當(dāng)sinα=-1時，f（sinα）的最大值為1-b+c．
由1-b+c=8與b+c=-1聯(lián)立，
可得b=-4，c=3．
即b=-4，c=3．
分析：本題考查的是不等式的綜合應(yīng)用問題．在解答時：
（1）充分利用條件不論α、β為何實數(shù)，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．注意分析sinα、2+cosβ的范圍，利用夾逼的辦法即可獲得問題的解答；
（2）首先利用（1）的結(jié)論對問題進行化簡化為只有參數(shù)c的函數(shù)，再結(jié)合條件不論β為何實數(shù)，恒有f（2+cosβ）≤0，即可獲得問題的解答；
（3）首先對函數(shù)進行化簡配方，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量和對稱軸的范圍即可獲得問題的解答．
點評：本題考查的是不等式的綜合類問題，在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了夾逼的技巧、恒成立的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．值得同學(xué)們體會與反思．