Question

已知多項(xiàng)式f(n)＝n⁵＋n⁴＋n³－n．

(Ⅰ)求f(－1)及f(2)的值；

(Ⅱ)試探求對(duì)一切整數(shù)n，f(n)是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切正整數(shù)n，是整數(shù)． 　�、佼�(dāng)n＝1時(shí)，，結(jié)論成立． 　　②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N)時(shí)，結(jié)論成立，即是整數(shù)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 　　 　　＝ 　　根據(jù)假設(shè)是整數(shù)，而顯然是整數(shù)． 　　∴是整數(shù)，從而當(dāng)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 　　由①、②可知對(duì)對(duì)一切正整數(shù)n，是整數(shù)．7分 　　(Ⅱ)當(dāng)n＝0時(shí)，是整數(shù)．8分 　　(Ⅲ)當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，令n＝－m，則m是正整數(shù)，由(1)是整數(shù)， 　　所以 　　＝是整數(shù)． 　　綜上，對(duì)一切整數(shù)n，一定是整數(shù)．10分