Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x•(

1

2

)x+

1

x+1

，點(diǎn)A_n為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標(biāo)為n（n∈N^*）的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量

e

=（1，0）．記θ_n為向量

OAn

與

e

的夾角，S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，則

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：θ_n為向量

OAn

與

e

的夾角的正切，即為直線OA_n的斜率，運(yùn)用斜率公式可得tanθ_n=（

1

2

）ⁿ+

1

n(n+1)

，再由數(shù)列求和方法：分組求和，分別運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式和裂項(xiàng)相消求和得到S_n=2-

1

2n

-

1

n+1

，再由數(shù)列極限的求法即可得到．

解答： 解：由題意可得A_n（n，n•（

1

2

）ⁿ+

1

n+1

），即有

OAn

=（n，n•（

1

2

）ⁿ+

1

n+1

），
θ_n為向量

OAn

與

e

的夾角，則有tanθ_n=（

1

2

）ⁿ+

1

n(n+1)

，
則有S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=（

1

2

+

1

1×2

）+（

1

4

+

1

2×3

）+…+[（

1

2

）ⁿ+

1

n(n+1)

]
=（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

）+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+1-

1

n+1

=2-

1

2n

-

1

n+1

，
則

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

（2-

1

2n

-

1

n+1

）=2-0-0=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由向量求夾角，數(shù)列的求和方法和極限的求法，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題得出tanθ_n的表達(dá)式，熟練掌握數(shù)列求和的技巧也是解題的關(guān)鍵