Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.數(shù)列滿(mǎn)足，.

（1）若，且，求正整數(shù)的值；

（2）若數(shù)列，均是等差數(shù)列，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，且，是否存在正整數(shù)，使，，成等差數(shù)列，若存在，求出一個(gè)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）存在，k=1.

【解析】

（1）在原式中令n=m，代入，即可解出m；（2）設(shè)出數(shù)列，的首項(xiàng)和公差，代入原式化簡(jiǎn)得一個(gè)含n的恒等式，所以對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到；（3）當(dāng)時(shí)，，，為，，成等差數(shù)列.

解：（1）因?yàn)?/span>，且

所以

解得

（2）記數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為；數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為

則，

化簡(jiǎn)得：

所以

所以的取值范圍

（3）當(dāng)時(shí)，，，為，，成等差數(shù)列.

下面論證當(dāng)時(shí)，，，不成等差數(shù)列

因?yàn)?/span>，所以

所以，所以

所以

若，，成等差數(shù)列，則

所以，所以，解得

當(dāng)時(shí)，，，為，，

因?yàn)?/span>

所以

所以當(dāng)時(shí)，，，不成等差數(shù)列

綜上所述：存在且僅存在正整數(shù)時(shí)，，，成等差數(shù)列