Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=5，且a₆=3a₁+a₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）從集合{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取3個(gè)不同的元素，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知得

a1+d=5 a1+5d=4a1+3d

解得

a1=2 d=3

．…（2分）
故a_n=a₁+（n-1）d=3n-1，Sn=

n(a1+an)

2

=

3

2

n2+

1

2

n．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=a₁+（n-1）d=3n-1，
∴{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}={2，5，8，…，29}有5個(gè)奇數(shù)，5個(gè)偶數(shù)． （6分）
∴ξ有0，1，2，3共四個(gè)取值，故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

…（10分）
則Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

．…（13分）