Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：對(duì)于任意n∈N*且n≥2時(shí)，an+λan﹣1=2n+1，a1=4．
（1）若 ，求證：{an﹣3n}為等比數(shù)列；
（2）若λ=﹣1．①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； ②是否存在k∈N*，使得 +25為數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明： ，n≥2時(shí)，an﹣ an﹣1=2n+1，化為：an﹣3n= [an﹣1﹣3（n﹣1）]，

∴數(shù)列{an﹣3n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為

（2）解：①λ=﹣1時(shí)，n≥2時(shí)，an﹣an﹣1=2n+1，a1=4．

∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+（2×2+1）+4

= +1=n2+2n+1=（n+1）2．

②假設(shè)存在存在k∈N*，使得 +25為數(shù)列{an}中的第n項(xiàng)，則 +25=（n+1）2，

則（2k+1）×（2k+2）+25=（n+1）2，

由于左邊是奇數(shù)，因此n必然為偶數(shù)．

又（2k+1）×（2k+2）=（n+6）（n﹣4），

∴（4k+2）×（k+1）=（n+6）（n﹣4），

因此k必然為奇數(shù)，若 ，解得k=3，n=8．

只能有一解

【解析】（1） ，n≥2時(shí)，an﹣ an﹣1=2n+1，化為：an﹣3n= [an﹣1﹣3（n﹣1）]，即可證明．（2）①λ=﹣1時(shí)，n≥2時(shí)，an﹣an﹣1=2n+1，a1=4．利用累加求和即可得出．②假設(shè)存在存在k∈N*，使得 +25為數(shù)列{an}中的第n項(xiàng)，可得 +25=（n+1）2，可得（2k+1）×（2k+2）+25=（n+1）2，由于左邊是奇數(shù)，因此n必然為偶數(shù)．又（2k+1）×（2k+2）=（n+6）（n﹣4），可得（4k+2）×（k+1）=（n+6）（n﹣4），因此k必然為奇數(shù)，只有可能 ，解出即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．