Question

（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸為，過點(diǎn)的直線與軸垂直，直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）直線與以為直徑的圓相切。

【解析】

試題分析：（1）將整理得，解方程組得直線所經(jīng)過的定點(diǎn)為。

由離心率，得。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，則。，

，

點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)在以為直徑的圓上。

又直線l的方程為。令，得。

又，的中點(diǎn)，

，直線與以為直徑的圓相切。

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線系方程；

點(diǎn)評(píng)：直線系過定點(diǎn)的求法要當(dāng)心，一般轉(zhuǎn)化為這種形式，聯(lián)立求解即為定點(diǎn)。