Question

在棱長(zhǎng)為3的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=1，點(diǎn)F是線段AD上一點(diǎn)，且AF=2，則異面直線DE與CF的夾角的余弦為

1

14

．

Answer 1

分析：在AB上取一點(diǎn)M，使AM=

1

3

，由于

AM

AE

=

AF

AD

=

1

3

，可得MF∥ED，則∠CFM或其補(bǔ)角，即為異面直線DE與CF的夾角．利用余弦定理求得CF²、MF²、CM² 的值，再在△CFM中，利用余弦定理求得cos∠CFM 得值，再取絕對(duì)值，即得所求．

解答：解：∵在棱長(zhǎng)為3的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=1，點(diǎn)F是線段AD上一點(diǎn)，且AF=2，
在AB上取一點(diǎn)M，使AM=

1

3

，如圖所示：
由于

AM

AE

=

AF

AD

=

1

3

，∴MF∥ED，則∠CFM或其補(bǔ)角，即為異面直線DE與CF的夾角．
△CDF中，由余弦定理可得 CF²=9+4-2×3×2cos60°=7，△CAM中，由余弦定理可得 CM²=9+

1

9

-2×3×

1

3

×cos60°=

73

9

，
△AMF中，由余弦定理可得 MF²=

1

9

+1-2×

1

3

×1×cos60°=

7

9

．
在△CFM中，由余弦定理可得CM²=

73

9

=7+

7

9

-2×

7

×

7 9

×cos∠CFM，解得cos∠CFM=-

1

14

，
故異面直線DE與CF的夾角的余弦為

1

14

，
故答案為

1

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，余弦定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．