Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，有下列命題：
①其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
②f（x）的最小值是lg2；
③（-1，0）是f（x）的一個(gè)遞增區(qū)間；
④f（x）沒(méi)有最大值．
其中正確的是______（將正確的命題序號(hào)都填上）．

Answer 1

設(shè)t=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

，
則|x|+

1

|x|

≥2

|x|• 1 |x|

=2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1時(shí)，等號(hào)成立
∴當(dāng)x=±1時(shí)，t達(dá)到最小值2
對(duì)于①，由于f（-x）=lg

(-x)2+1

|-x|

=lg

x2+1

|x|

=f（x）
∴函數(shù)f（x）在其定義域上為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，得①正確；
對(duì)于②，因?yàn)閠=

x2+1

|x|

的最小值為2，底數(shù)10是大于1的數(shù)
∴f（x）=lgt的最小值是lg2，故②正確；
對(duì)于③，在（-∞，0）上，函數(shù)t=

x2+1

|x|

在x=-1時(shí)有最小值
故在（-1，0）上t為關(guān)于x的增函數(shù)，
可得函數(shù)f（x）=lgt也是在（-1，0）上的增函數(shù)，得③正確；
對(duì)于④，由于t=

x2+1

|x|

沒(méi)有最大值，
可得函數(shù)f（x）=lgt也沒(méi)有最大值，故④正確．
故答案為：①②③④