Question

有下列四個(gè)命題：
（1）一定存在直線l使函數(shù)f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數(shù)g（x）=lg（-x）+2的圖象關(guān)于直線l對(duì)稱
（2）不等式：arcsinx≤arccosx的解集為[

2

2

，1]；
（3）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}一定是等比數(shù)列；
（4）過拋物線y²=2px（p＞0）上的任意一點(diǎn)M（x_°，y_°）的切線方程一定可以表示為y₀y=p（x+x₀）．
則正確命題的序號(hào)為

（3）（4）

．

Answer 1

分析：（1）一定存在直線l使函數(shù)f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數(shù)g（x）=lg（-x）+2的圖象關(guān)于直線l對(duì)稱，可由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換進(jìn)行判斷
（2）不等式：arcsinx≤arccosx的解集為[

2

2

，1]，利用反三角函數(shù)的定義直接求解出符合條件的范圍，解出解集；
（3）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}一定是等比數(shù)列，可求出其通項(xiàng)公式對(duì)它的性質(zhì)進(jìn)行研究判斷其正誤；
（4）過拋物線y²=2px（p＞0）上的任意一點(diǎn)M（x_°，y_°）的切線方程一定可以表示為y₀y=p（x+x₀），可通過解出其切數(shù)方程對(duì)比得出正誤．

解答：解：（1）一定存在直線l使函數(shù)f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數(shù)g（x）=lg（-x）+2的圖象關(guān)于直線l對(duì)稱，這是個(gè)錯(cuò)誤命題，由于y=lgx與y=lg（-x）關(guān)于Y軸對(duì)稱，但函數(shù)f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數(shù)g（x）=lg（-x）+2的圖象向上平移的幅度不一樣，故它們不關(guān)于y軸對(duì)稱，由其圖形結(jié)構(gòu)知找不到這樣的直線滿足題意；
（2）不等式：arcsinx≤arccosx的解集為[

2

2

，1]是一個(gè)錯(cuò)誤命題，因?yàn)樽宰兞吭?span id="nthjjrl" class="MathJye">[

2

2

，1]時(shí)，arcsinx∈[

π

4

，

π

2

]，而arccosx∈[0，

π

4

]故錯(cuò)誤；
（3）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}一定是等比數(shù)列；，此命題正確，由于a_n=S_n-S_n-1=2×（-1）^n-1，當(dāng)n=1時(shí)也成立，即數(shù)列的通項(xiàng)公式是2×（-1）^n-1，是一個(gè)等比數(shù)列．
（4）過拋物線y²=2px（p＞0）上的任意一點(diǎn)M（x_°，y_°）的切線方程一定可以表示為y₀y=p（x+x₀）是正確命題，由于直線y₀y=p（x+x₀）過點(diǎn)M（x_°，y_°），且與拋物線y²=2px（p＞0）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以此命題正確
綜上（3）（4）是正確命題，
故答案為（3）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真真假判斷，此類題一般涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，屬于基礎(chǔ)概念與基本方法考查題，解題的關(guān)鍵是理解每個(gè)命題所涉及的知識(shí)與方法，由此作出正確判斷，此類題主要考查知識(shí)的記憶能力及利用知識(shí)判斷推理的能力