Question

已知圓錐曲線C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F₁（-1，0）、F₂（1，0）的距離之和為常數(shù)，曲線C的離心率．
（1）求圓錐曲線C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F₂的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P，使的值是常數(shù)．

Answer 1

解：（1）依題意，設(shè)曲線C的方程為（a＞b＞0），
∴c=1，
∵，
∴a=2，
∴，
所求方程為．
（2）當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1），
由，
得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
從而，，
設(shè)P（t，0），則
=
當(dāng)，
解得
此時(shí)對(duì)?k∈R，；
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直線AB的方程為x=1，
x_A=x_B=1，，
對(duì)，，
即存在x軸上的點(diǎn)，使的值為常數(shù)．
分析：（1）根據(jù)橢圓的定義判斷出圓錐曲線C是橢圓，得到橢圓中的參數(shù)c的值，再根據(jù)離心率的公式求出參數(shù)a，利用三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出b，寫出橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)p，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，利用交點(diǎn)坐標(biāo)表示出，要使其為常數(shù)，令分子、分母的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)成比例，求出p的坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)將p的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可．
點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法，注意橢圓中三個(gè)參數(shù)a，b，c的關(guān)系滿足a²=b²+c²；解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，一般是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到二次方程，利用韋達(dá)定理找突破口．