Question

已知圓錐曲線C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F₁（-1，0）、F₂（1，0）的距離之和為常數(shù)，曲線C的離心率e=

1

2

．
（1）求圓錐曲線C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F₂的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P，使

PA

•

PB

的值是常數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義判斷出圓錐曲線C是橢圓，得到橢圓中的參數(shù)c的值，再根據(jù)離心率的公式求出參數(shù)a，利用三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出b，寫出橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)p，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，利用交點(diǎn)坐標(biāo)表示出

PA

•

PB

，要使其為常數(shù)，令分子、分母的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)成比例，求出p的坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)將p的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可．

解答：解：（1）依題意，設(shè)曲線C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴c=1，
∵e=

c

a

=

1

2

，
∴a=2，
∴b=

a2-c2

=

3

，
所求方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，
得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
從而xA+xB=

8k2

3+4k2

，xA•xB=

4(k2-3)

3+4k2

，
設(shè)P（t，0），則

PA

•

PB

=(xA-t)(xB-t)+yAyB=(k2+1)xAxB-(t+k2)(xA+xB)+(k2+t2)=

3t2-12+(-5-8t+4t2)k2

3+4k2

當(dāng)

3t2-12

3

=

-5-8t+4t2

4

，
解得t=

11

8

此時(shí)對(duì)?k∈R，

PA

•

PB

=-

135

64

；
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直線AB的方程為x=1，
x_A=x_B=1，yA(yB)=±

3

2

，
對(duì)t=

11

8

，

PA

•

PB

=(xA-t)(xB-t)+yAyB=

9

64

-

9

4

=-

135

64

，
即存在x軸上的點(diǎn)P(

11

8

，0)，使

PA

•

PB

的值為常數(shù)-

135

64

．

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法，注意橢圓中三個(gè)參數(shù)a，b，c的關(guān)系滿足a²=b²+c²；解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，一般是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到二次方程，利用韋達(dá)定理找突破口．