Question

若函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x+c為奇函數(shù)，且在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x+c為奇函數(shù)得f（0）=0且f（-x）=-f（x），可求得c=0，b=0，然后求導(dǎo)由在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減可得f′（1）=0，可求a；（2）先將過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線轉(zhuǎn)化為：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，從而求得m的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x+c為奇函數(shù)，可求得函數(shù)定義域?yàn)镽，
則f（0）=0，解得c=0，代入得f（x）=ax³+bx²-3x，
又f（-x）=-f（x），即a（-x）³+b（-x）²-3×（-x）=-ax³+bx²-3x，化簡(jiǎn)解得b=0，代入得f（x）=ax³-3x，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=3ax²-3，又由題意函數(shù)在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，則x=1時(shí)取得極大值，則f′（1）=0即3a-3=0，解得a=1，
綜上函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=x³-3x；
（2）過(guò)點(diǎn)A（1，m）向曲線y=f（x）作切線，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）
則y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．
則切線方程為y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）
將A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0，
∵過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），
令g'（x）=0，x=0或1，
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當(dāng)x=0，g（x）有極大值m+3；x=1，g（x）有極小值m+2
由題意有，當(dāng)且僅當(dāng)

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

m+3＞0 m+2＜0

，-3＜m＜-2時(shí)，
函數(shù)g（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，
此時(shí)過(guò)點(diǎn)A可作曲線y=f（x）的三條不同切線．故m的范圍是（-3，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為改點(diǎn)的切線的斜率，導(dǎo)數(shù)的極值存在的條件的應(yīng)用及利用函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化求解參數(shù)的范圍，屬于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．